BARISAN/DERET ARITMATIKA & GEOMETRI 212

  BARISAN ARITMATIKA

U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                      U₁, U₂,   U₃ ............., U_n

Rumus Suku ke-n :

U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

  DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+U_n)
      = 1/2 n[2a+(n-1)b]
      = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
   Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
   
   U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.
5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

  BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^n-1
U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)

  DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
      = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1    ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
   U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
   U_n < U_n-1
   
   Bergantian naik turun, jika r < 0
4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
             _______      __________
   Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst.
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

  DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r