MK MAT EKO: NILAI EIGEN & VEKTOR EIGEN (2)

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:

$\textup{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$

di mana A suatu matriks, x merupakan vektor, dan λ merupakan nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen matriks A dapat dicari dengan

$\textup{A}\mathbf{x}-\lambda \mathbf{x}=0$

$(\textup{A}-\lambda)\mathbf{x}=0$

Misalkan diberikan A metriks 3x3 dan vektor x

$\textup{A} = \begin{pmatrix} -8 & 21 & -9\\ -14 & 31 & -13\\ -22 & 45 & -19 \end{pmatrix} \textup{dan }\textbf{x} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

maka (A-λ)x = 0 dapat ditulis

$\begin{pmatrix} -8-\lambda & 21 & -9\\ -14 & 31-\lambda & -13\\ -22 & 45 & -19-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =0$

Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A-λ) dengan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor, diperoleh

$\textup{det}(\textup{A}-\lambda)=(-8-\lambda)\begin{vmatrix} 31-\lambda & -13\\ 45 & -19-\lambda \end{vmatrix}-21\begin{vmatrix} -14 & -13\\ -22 & -19-\lambda \end{vmatrix}-9\begin{vmatrix} -14 & 31-\lambda\\ -22 & 45 \end{vmatrix}$

$\textup{det}(\textup{A}-\lambda)=-\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16$

polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh -λ³+4λ²+4λ-16 = (λ+2)(-λ+2)(λ-4)

sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ = 2, λ = -2 dan λ = 4

Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah:

☺ 2x2 -> det(A) - λ.trace(A) + λ²

☺ 3x3 -> det(A) - λ.(M₁₁ + M₂₂ + M₃₃) + λ².trace(A) - λ³

Vektor Eigen

Vektor eigen(x) merupakan solusi dari matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x ≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga. Misalkan untuk λ = 2

$\begin{pmatrix} -8-(2) & 21 & -9\\ -14 & 31-(2) & -13\\ -22 & 45 & -19-(2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ -14 & 29 & -13\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan a, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks segitiga atas yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) yaitu:

$\begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -0,4 & -0,4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$