MK MAT EKO: Agustus 2013

Rabu, 28 Agustus 2013

PANGKAT, AKAR & LOGARITMA

a. Bentuk Pangkat
1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n didefinisikan sebagai berikut :
       $\inline \fn_cm a^{n}=\underbrace{a \: \: x \: \: a\:\: x\: ....x\: a}$
      Pengertian pangkat tersebut diperluas, yaitu untuk $\inline \fn_cm a\neq 0$ berlaku :
       $\inline \fn_cm a)\: \: a^{0}=1$
       $\inline \fn_cm b)\: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
2). Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat
       $\inline \fn_cm a).\: \: a^{m}\: x\: a^{n}=a^{m+n}$
       $\inline \fn_cm b).\: \: \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
       $\inline \fn_cm c).\: \: (a^{m})^{n}=a^{m.n}$
       $\inline \fn_cm d).\: \: (a\, x\, b)^{n}=a^{n}\, x\, b^{n}$
       $\inline \fn_cm e).\: \: \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\, \, \: b\neq 0$

b. Bentuk Akar
1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :
       $\inline \fn_cm a).\: \: b^{n}=a\, \Leftrightarrow \, \sqrt[n]{a}=b$
       $\inline \fn_cm b).\: \: \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$
2). Sifat-sifat bentuk akar.
       $\inline \fn_cm a).\: \: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
       $\inline \fn_cm b).\: \: p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}$
       $\inline \fn_cm c).\: \: p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a}=(p-q)\sqrt[n]{a}$
       $\inline \fn_cm d).\: \: \sqrt[n]{a.b}=\sqrt[n]{a}\,\, x\, \sqrt[n]{b}$
       $\inline \fn_cm e).\: \: \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\, ,b\neq \neq 0$
       $\inline \fn_cm f).\: \: \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$
3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
       $\inline \fn_cm a).\: \: \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\, x\, \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$
       $\inline \fn_cm b).\: \: \frac{a}{\sqrt{b}\, +\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}\, +\sqrt{c}}\, x\, \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$
                            $\inline \fn_cm =\frac{a}{b-c}(\, \sqrt{b}-\sqrt{c}\, \, )$

c. Logaritma
1). Jika a dan b bilangan positif dengan $\inline \fn_cm p\neq 1$ maka berlaku :
       $\inline \fn_cm {}^{p}\log{a}=n\, \Leftrightarrow \, p^{n}=a$
      Dari hubungan tersebut, diperoleh :
       $\inline \fn_cm a).\, \, p^{0}=1\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{1}=0$
       $\inline \fn_cm b).\, \, p^{1}=p\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{p}=1$
       $\inline \fn_cm c).\, \, p^{n}=p^{n}\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{p^{n}}=n$
2). Sifat-sifat logaritma
       $\inline \fn_cm a).\, \, {}^{p}\log{ab}=\, {}^{p}\log{a}\, +\, {}^{p}\log{b}$
       $\inline \fn_cm b).\, \, {}^{p}\log{\left ( \frac{a}{b} \right )}=\, {}^{p}\log{a}\, -\, {}^{p}\log{b}$
       $\inline \fn_cm c).\, \, {}^{p}\log{a^{n}}=\, n\, x\, {}^{p}\log{a}$
       $\inline \fn_cm d).\, \, {}^{p}\log{a}=\, \frac{{}^{n}\log{a}}{{}^{n}\log{p}}$
       $\inline \fn_cm e).\, \, p^{{}^{p}\log{a}}=a$

PENDAHULUAN

Silahkan download file pdf lengkap disini

PANGKAT, AKAR & LOGARITMA

Silahkan download file pdf disini

OPERASI PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN & PEMBAGIAN (Sistem Bilangan)

Silahkan download file pdf disini

OPERASI PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN & PEMBAGIAN (Silsilah Bilangan)

Silahkan lihat di Silsilah Bilangan

OPERASI PENJUMLAHAN & PENGURANGAN (Sifat-sifat Bilangan Riil dalam Operasi Hitung)

1. Ketertutupan
Suatu bilangan asli jika dilakukan operaso tambah, hasilnya adalah bilangan asli. Demikian juga dengan operasi kali pada bilangan asli, hasilnya adalah bilangan asli juga. Inilah yang dinamakan dengan sifat tertutup. Dapat disimpulkan bahwa bilangan asli tertutup pada operasi tambah dan operasi kali, tetapi tidak tertutup pada operasi kurang dan operasi bagi pada bilangan asli. Pada sistem bilangan riil, operasi hitung tambah, kurang , kali dan bagi memiliki sifat ketertutupan, kecuali unsur nol dalam operasi bagi.

2. Komutatif (Pertukaran)

Jika bilangan riil a dan b dijumlahkan, hasilnya akan sama walaupun tempat atau posisi bilangan itu ditukar.

a + b = b + a

Sifat ini berlaku juga untuk perkalian, tetapi tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian.

3. Asosiatif (Pengelompokan)

Untuk setiap a, b dan c bilangan riil, berlaku:

(a + b) + c = a + (b + c)

Sifat Asosiatif ini berlaku juga untuk perkalian. Sama halnya dengan sifat komutatif, sifat asosiatif tidak berlaku pada operasi pembagian dan pengurangan.

4. Distributif atau Penyebaran

Untuk setiap a, b, dan c bilangan riil, berlaku sifat berikut:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

atau

(a x b) + c = (a x c) + (b x c)

5. Elemen Satuan

Elemen satuan disebut unsur identitas, sebuah unsur bilangan yang dioperasikan dengan bilangan lain. Hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Pada operasi penambahan bilangan riil berlaku:

a + 0 = 0 + a = a

atau

a x 1 = 1 x a = a

untuk identitas operasi tambah (+), yaitu 0 dan 1 merupakan unsur identitas pada operasi kali (x).

6. Invers

Sebuah unsur bilangan jika dioerasikan dengan bilangan lain akan menghasilkan sebuah unsur identitas. Jika a adalah bilangan riil berlaku

a + (-a) = (-a) + a = 0

invers penjumlahan dari a adalah –a.

CONTOH

PENJUMLAHAN

· 3 + 4 = 7 berlaku sifat komutatif karena 3 + 4 = 4 + 3 =7

· ((-2) + 3) + 1 = 2 berlaku sifat asosiatif karena ((-2) + 3) + 1 =(- 2) + (3 + 1) = 2

PENGURANGAN

· 7 – 9 = -2 tidak berlaku sifat komutatif karena 7 – 9 tidak sama dengan 9 – 7

· (2 – 3) -2 = -3 tidak berlaku sifat asosiatif karena (2 – 3) -2 = 2 – (3 – 2)

PERKALIAN

· (-3) x 3 = -9, berlaku sifat komutatif (-3) x 3 = 3 x (-3) = -9

· (2 x 4) x (-2) = -16, berlaku sifat asosiatif karena (2 x 4) x (-2) = 2 x (4 x (-2)) = -16

· 3 x (1 + (-2)) = (3 x 1) + (3 x -2) = -3, berlaku sifat distributif (x) terhadap (+)

PEMBAGIAN
Seperti halnya dengan operasi pengurangan, sifat asosiatif dan komutatif tidak berlaku untuk operasi pembagian ini.

OPERASI PENJUMLAHAN & PENGURANGAN (Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat)

Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

a.	Sifat Komutatif
	Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Sifat ini *hanya* berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian. Sifat komutatif pada Penjumlahan Bentuk umum dari sifat komutatif pada penjumlahan yaitu a + b = b + a. Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini : 5 + 7 = 12 7 + 5 = 12 Jadi, 5 + 7 = 7 + 5 Sifat komutatif pada Perkalian Bentuk umum dari sifat komutatif pada perkalian yaitu a x b = b x a . Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini : 5 × 7 = 35 7 × 5 = 35 Jadi, 5 × 7 = 7 × 5
b.	Sifat Asosiatif
	Sifat Asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini juga *hanya* berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian. Bentuk umum dari sifat Asosiatif pada operasi penjumlahan (a + b ) + c = a + ( b + c ) dan operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ) . Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini : Sifat Asosiatif pada Penjumlahan Bentuk umum dari sifat asosiatif pada operasi penjumlahan (a + b ) + c = a + ( b + c ) . Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini : (5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12 5 + (3 + 4) = 5 + 7 = 12 Jadi, (5 + 3) + 4 = 5 + (3 + 4). Pada Perkalian Bentuk umum dari sifat asosiatif pada operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ) .Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini : (5 × 3) × 4 = 15 × 4 = 60 5 × (3 × 4) = 5 × 12 = 60 Jadi, (5 × 3) × 4 = 5 × (3 × 4).
c.	Sifat Distributif
	Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Sifat distributif ada 2 yaitu : Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dengan bentuk umum a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ). Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini : 6 × ( 4 + 5 ) = 6 × 9 = 54 ( 6 × 4 ) + ( 6 × 5 ) = 24 + 30 = 54 Jadi, 6 × ( 4 + 5 ) = ( 6 × 4 ) + ( 6 × 5 ) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan dengan bentuk umum a x ( b – c ) = ( a x b ) – ( a x c ) Untuk memperjalasnya perhatikan contoh berikut ini : 7 × ( 9 − 6 ) = 7 × 3 = 21 ( 7 × 9 ) − ( 7 × 6 ) = 63 − 42 = 21 Jadi, 7 × ( 9 − 6 ) = ( 7 × 9 ) − ( 7 × 6 )

Menggunakan Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung

Operasi Hitung Perkalian perkalian jika salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar, salah satu cara mempermudah pengerjaanya dengan menggunakan sifat distriburif.

Contoh :

9 × 456 = 9 × ( 400 + 50 + 6 )

= ( 9 × 400 ) + ( 9 × 50 ) + ( 9 × 6 )

= 3600 + 450 + 54

= 4104

OPERASI PENJUMLAHAN & PENGURANGAN

Soal Cerita Matematika Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

KERJAKAN TES DI BAWAH INI You Will Never Can If You Never Try

Selamat Mencoba Yaaaa.....GooD Luck...!!!
Selamat Mencoba Yaaaa.....GooD Luck...!!!
Selamat Mencoba Yaaaa.....GooD Luck...!!!
Selamat Mencoba Yaaaa.....GooD Luck...!!!
Selamat Mencoba Yaaaa.....GooD Luck...!!!

OPERASI PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN & PEMBAGIAN (Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat)

Dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat, terdapat dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu:

1. Tanda operasi hitung

2. Tanda kurung

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat terdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurung harus dikerjakan terlebih dahulu. Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung sebagai berikut:

1. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

2. Operasi perkalian (x) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

3. Operasi perkalian (x) dan pembagian (:) lebih kuat dari pada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-), artinya operasi perkalian (x) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu dari pada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (-).

Perhatikan contoh berikut ini:

1. 24 + 56 x 42 - 384 : 12 = 24 + (56 x 42) - (384 : 12)

= 24 + 2.352 - 32

= 2.376 - 32

= 2.344

2. 360 + 800 x 80 : 200 = 360 + (800 x 80 : 200)

= 360 + (64.000 : 200)

= 360 + 320

= 680

3. (480 : 12) x 15 + 1.350 = (40 x 15) + 1.350

= 600 + 1.350

= 1.950

Semoga bermanfaat dan salam Matematika.

RUMUS ABC (RUMUS KUADRATIS)

Rumus ABC atau disebut juga dengan rumus kuadratis adalah salah satu rumus yang sangan membantu kita dalam menentukan akar-akar dari sebuah persamaan. Menurut Wikipedia, pengenalan rumus ABC ini karena nilai akar-akar persamaan kuadratnya nanti akan bergantung pada nilaio a, b dan c persamaan tersebut

Bentuk rumus ABC adalah:

Rumus ABC

Contoh penggunaan rumus abc sebagai berikut:

Tentukan penyelesaian persamaan x² – 5x + 4 = 0

Jawab:

Mudah bukan memahami rumus ABC ini, semoga bermanfaat yah Rumus ABC

OPERASI BILANGAN (Bilangan Bulat dan Sifat Operasi Perhitungan Bilangan Bulat)

Bilangan Bulat dan Sifat Operasi Perhitungan Bilangan Bulat -

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan positif, nol, dan bilangan negatif. Bilangan bulat dinotasikan dengan

B = {…., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….}.

BILANGAN BULAT

Jika digambarkan dalam garis bilangan, maka seperti berikut

Garis Bilangan

Pada gambar garis bilangan diatas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6 … disebut bilangan bulat positif yang terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan –1, –2, –3, –4, –5, … disebut bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :

a. -3 < 2, karena -3 terletak di sebelah kiri 4,

b. 9 > 1, karena 9 terletak di sebelah kanan 1,

c. 0 > -5 karena 0 terletak di sebelah kanan -5.

Di dalam bilangan bulat juga terdapat bilangan lain diantaranya:

1. Bilangan Genap : G = {2, 4, 6, 8, 10,…}

2. Bilangan Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, 9,11…}

3. Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, …}

4. Bilangan Prima : {2, 3, 5, 7, 11, …}

5. Bilangan Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, 16…}

Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat

1. Sifat Asosiatif

Sifat asosiatif pada penjumlahan

Jika tiga buah bilangan bulat atau lebih di jumlahkan berlaku sifat asosiatif atau sifat pengelompokan. Perhatikanlah contoh berikut untuk lebih jelasnya

=> (3 + 2) + 7 = 3 + (2 + 7)

=> 5 + 7 = 3 + 9

=> 12 = 12

Jadi, sifat asosiatif pada penjumlahan secara umum dapat ditulis:

(a + b) + c = a + (b + c)

Sifat asosiatif pada perkalian

Jika tiga buah bilangan bulat atau lebih dikalikan berlaku sifat asosiatif atau sifat pengelompokkan. Perhatikanlah contoh berikut untuk lebih jelasnya

=> (5 x 2) x 4 = 5 x (2 x 4)

=> 10 x 4 = 5 x 8

=> 40 = 40

Jadi, sifat asosiatif pada perkalian secara umum dapat ditulis:

(a x b) x c = a x (b x c)

2. Sifat Komutatif

Sifat komutatif pada penjumlahan

Pada penjumlahan dua buah bilangan bulat berlaku sifat komutatif atau disebut juga sifat pertukaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

=> 4 + 7 = 7 + 4

=> 8 = 8

Jadi, secara umum sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis:

a + b = b + a

Sifat komutatif pada perkalian

Perhatikan contoh berikut:

=> 8 x 3 = 3 x 8

=> 24 = 24

Jadi, secara umum sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis:

a x b = b x a

3. Sifat Distributif (Penyebaran)

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Perhatikan contoh berikut:

=> 4 x (7 + 5) = (4 x 7) + ( 4 x 5)

=> 4 x 12 = 28 + 20

=> 48 = 48

Jadi secara umum distributif perkalian terhadap penjumlahan dapat ditulis

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

Perhatikan contoh berikut:

=> 4 x (7 – 5) = (4 x 7) – ( 4 x 5)

=> 4 x 2 = 28 – 20

=> 8 = 8

Jadi, secara umum sifat distributif perkalian terhadap pengurangan dapat ditulis

a x (b – c) = (a x b) – (a x c)

Sekian materi Matematika mengenai Bilangan Bulat dan Sifat Operasi Perhitungan Bilangan Bulat. Semoga dapat menambah wawasan kita mengenai MATEMATIKA.

Rabu, 28 Agustus 2013

Soal Cerita Matematika Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Kategori